Bài toán Waring đối với số lập phương

Mỗi số nguyên có thể viết thành tổng của chín (hoặc ít hơn) số lập phương nguyên dương. Giá trị chặn trên không thể giảm đi được bởi, ví dụ như 23 không thể viết thành tổng của ít hơn chín số lập phương:

23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13.

Tổng của ba số lập phương

Hiện tại đang có giả thuyết một số nguyên không đồng dư bằng ±4 modulo 9 có thể viết thành tổng của ba số lập phương vô hạn cách.[1] Ví dụ, 6 = 2 3 + ( − 1 ) 3 + ( − 1 ) 3 {\displaystyle 6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}} . Các số nguyên đồng dư với ±4 modulo 9 không cần xét vì chúng không thể viết thành tổng của ba số lập phương.

Số nguyên dương nhỏ nhất mà chưa tìm được tổng là 114. Vào tháng chín năm 2019, số nguyên dương nhỏ nhất đứng trước không tìm được tổng, số 42, thỏa mãn phương trình:

42 = ( − 80538738812075974 ) 3 + 80435758145817515 3 + 12602123297335631 3 . {\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.}

Định lý cuối cùng của Fermat đối với lập phương

Phương trình x3 + y3 = z3 không có nghiệm nguyên khác không (i.e. xyz ≠ 0). Thậm chí, nó còn không có nghiệm dạng số nguyên Eisenstein.[2]

Cả hai ý trên cũng đúng với phương trình[3] x3 + y3 = 3z3.